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在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？
示例 1:
输入:
[
[1,3,1],
[1,5,1],
[4,2,1]
]
输出: 12
解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物
提示：
0 < grid.length <= 200
0 < grid[0].length <= 200
解题思路
动态规划简单问题
题目要求从棋盘（0，0）处开始走只能向右或者向下，求走到棋盘右下角的经过元素总和最大值。
那么我们可以转换思想，从终点出发向左或者向上移动，直到移动到起点（0,0），那么如何去选择经过元素的总和最大值呢，当然是Max（当前元素向左经过的元素值，当前向上经过的元素值）+当前元素
但是我们也发现了，若是处于第一行除去（0，0）点其余元素只能向上走，若是处于第一列除去（0，0）点其余元素只能向左走。
于是状态转移方程就写出来了：
- dp[i][j] = grid[i][j] ( i=0&&j=0) 处于（0，0）点 初始条件
- dp[i][j] = dp[i][j – 1] + grid[i][j] (i == 0 && j != 0) 处于第一列只能向左走
- dp[i][j] = dp[i – 1][j] + grid[i][j] (i != 0 && j == 0) 处于第一行只能向上走
- dp[i][j] = Math.max(dp[i][j – 1], dp[i – 1][j]) + grid[i][j] (i != 0 && j != 0) 其余满足条件的位置 可上可左
代码1
class Solution {
public int maxValue(int[][] grid) {
int row = grid.length;
int col = grid[0].length;
int[][] dp = new int[row + 1][col + 1];
for (int i = 0; i < row; i++) {
for (int j = 0; j < col; j++) {
//处于（0，0）点 初始条件
if (i == 0 && j == 0) {
dp[i][j] = grid[i][j];
}
//处于第一列只能向左走
if (i == 0 && j != 0) {
dp[i][j] = dp[i][j - 1] + grid[i][j];
} else if (i != 0 && j == 0) {
// 处于第一行只能向上走
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + grid[i][j];
//(i != 0 && j != 0) 其余满足条件的位置 可上可左
} else if (i != 0 && j != 0) {
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j];
}
}
}
return dp[row - 1][col - 1];
}
}
其实我们可以优化一下,其实当前位置的路径和和当前位置的上一个元素和左元素有关，所以我们可以舍弃dp数组，再原数组上直接修改，是没有影响的。
优化后代码
class Solution {
public int maxValue(int[][] grid) {
int row = grid.length;
int col = grid[0].length;
for (int i = 0; i < row; i++) {
for (int j = 0; j < col; j++) {
//处于（0，0）点 初始条件
if (i == 0 && j == 0) {
continue;
}
//处于第一列只能向左走
if (i == 0 && j != 0) {
grid[i][j] += grid[i][j - 1];
} else if (i != 0 && j == 0) {
// 处于第一行只能向上走
grid[i][j] += grid[i - 1][j];
} else if (i != 0 && j != 0) {
//(i != 0 && j != 0) 其余满足条件的位置 可上可左
grid[i][j] += Math.max(grid[i][j - 1], grid[i - 1][j]);
}
}
}
return grid[row - 1][col - 1];
}
}
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